In diesem Blog m\u00f6chte ich in herausfordernder Absicht die These vertreten, da\u00df es heute eigentlich keine (offenen) Grundlagenfragen in der Mathematik mehr gibt. Diese These ist nat\u00fcrlich cum grano salis zu verstehen, und soll in erster Linie zu Widerspruch herausfordern, wobei eben die Formulierung noch als offener Fragen provoziert werden sollen – jeder Leser ist also herzliche dazu eingeladen, dieser These zu widersprechen und noch offene Grundlagenfragen aufzuzeigen.<\/p>\n
Meiner These liegt im wesentlichen eine historische Beobachtung zugrunde: In der ersten H\u00e4lfte des 20. Jahrhunderts (und schon davor) waren es die f\u00fchrensten K\u00f6pfe der Mathematik (hier denke ich in erster Linie an Hilbert und Poincar\u00e9) und auch die unmittelbar folgende Elite der Mathematiker (wie Weyl und Brouwer), die sich mit Grundlagenfragen der Mathematik besch\u00e4ftigt haben. In der zweiten H\u00f6lfter des 20. Jahrhunderts werden diese Frage unter Mathematiker aber \u00fcberhaupt nicht mehr diskutiert (man beachte vor allem Bourbakis “Scorn for Logic”<\/a>). Dieser Umstand f\u00fchrt zu der Vermutung, da\u00df – f\u00fcr die Mathematiker selbst – kein Problem mehr vorliegt (andernfalls sollten sie sich doch dazu \u00e4u\u00dfern).<\/p>\n Um die These weiter zu substanzieren, sollte man sich nun die Grundlagenfragen, so wie sie zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts (von den Mathematikern) diskutiert wurden, auflisten und sehen, wie modern Antworten (L\u00f6sungen) dazu aussehen.<\/p>\n Dies will ich sp\u00e4ter hier noch ausf\u00fchren; im Augenblick beschr\u00e4nke ich mich aber auf die (aus meiner Sicht) “verbliebenen” Fragen.<\/em><\/p>\n Welche Fragen kann man heute noch als offen betrachten?<\/p>\n Dann gibt es nat\u00fcrlich noch eine ganze Reihe historisch-philosophischer Fragen. Z.B., was sollte man genau unter Hilberts “Finitismus” verstehen? Es ist aber ein Teil der hier vertretenden These, da\u00df diese Fragen – trotz des berechtigten Interesses, das man an ihnen haben sollte – keine<\/em> unmittelbare Relevanz mehr f\u00fcr die aktuelle Mathematik haben.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"\n
\nIch sehe hier enge Verwandschaft mit dem heute eigentlich vollst\u00e4ndig verstandenen Unterschied von Syntax und Semantik, es gibt aber gewisse Unterschiede (vor allem im Verst\u00e4ndnis von “Inhaltlichkeit” bei Hilbert), die noch genauer zu untersuchen zu w\u00e4ren.<\/li>\n
\nTats\u00e4chlich reicht ZFC als Grundlagentheorie f\u00fcr den bei weitem gr\u00f6\u00dften Teil der Mathematik aus (vgl. etwa: Moschovakis, Notes on Set Theory, Springer). Erweiterungen von ZFC um z.B. starke Kardinalzahlen stellen uns tats\u00e4chlich noch vor ungekl\u00e4rte Fragen, ob und wie diese Kardinalzahlen grundlagentheoretisch zu “verstehen”, “einzusehen” oder zu “rechtfertigen” w\u00e4ren. Dies wird z.T. als ein bestehendes Problem f\u00fcr die moderne Fundierung der Mathematik durch die Mengenlehre betrachtet wird. Sollte sich aber daf\u00fcr argumentieren lassen, da\u00df diese starken Kardinalzahlen keine “unmittelbare mathematische Relevanz” (diesen Begriff gilt es dann aber nat\u00fcrlich erst noch zu spezifizieren) haben, ist es vertretbar, zu argumentieren, da\u00df diese “innermengentheoretischen” Grundlagenfragen eben nicht mehr “mathematische” Grundlagenfragen sind.<\/li>\n<\/ol>\n